Dicas úteis

Teorema da soma dos ângulos dos triângulos

Pin
Send
Share
Send
Send


Seções: Matemática

Neste artigo, considero uma das maneiras de aprimorar a atividade cognitiva de crianças em idade escolar e aumentar o nível de seu pensamento lógico: colocamos às crianças o problema de encontrar várias maneiras de provar o mesmo teorema, usando exemplos que mostram como isso é feito.

Mas como incentivar os alunos a procurar independentemente maneiras diferentes de provar teoremas, como organizar o trabalho apropriado com os alunos na sala de aula e em atividades extracurriculares. Isso é especialmente importante no estágio inicial do estudo da geometria na 7ª série - para mergulhar na consciência das crianças a necessidade de procurar novas evidências. Fixamos essa habilidade nas etapas subsequentes do estudo da geometria.

Primeiro, consideramos as provas de alguns teoremas de várias maneiras.

Teorema da soma dos ângulos dos triângulos

Redação: a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.

Prova:

Separamos ângulos respectivamente iguais aos ângulos A e B dos lados do ângulo ICA: um ângulo igual a A é desprezado do raio CA nesse semiplano em relação à linha CA que não contém o ponto B (Fig. 1). É necessário provar que o ângulo NСM é igual a 180º, ou seja, está implantado.

A partir da igualdade dos ângulos internos A e MCA, segue-se o paralelismo das retas SM e AB. Da mesma forma, vemos que CN ║ AB.

Referindo-se ao axioma paralelo, concluímos que as retas SM e CN coincidem. Portanto, ∟МСN = 180º, e contém a soma dos três ângulos internos do triângulo.

Desenhe um feixe CA e um feixe CF paralelo a AB. ∟A = ∟DCF como correspondente às linhas paralelas CF e AB e AC secante.

=В = FBCF como cruzamentos internos em linhas retas paralelas CF e АВ e aeronaves secantes. ∟ACD = 180º, porque este ângulo é desdobrado, o que significa: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

Desenhe os raios do sol e dos alto-falantes e desenhe o SM ║ AB. ∟DCF = ∟ACB como vertical, ∟A = ∟FCM como correspondente para as linhas paralelas CM e AB e AC secante. = CMC como cruzamentos internos situados nas linhas paralelas CM e AB e aeronaves secantes. BDCB = 180º, porque esse ângulo é desdobrado. Mas esse ângulo desdobrado acabou sendo igual à soma dos três ângulos internos do triângulo, o que significa: +А + ∟В + ∟С = 180º.

Desenhe SM М VA. ∟A = ∟MCA como cruz interna situada em SM por VA e secante CA. =ВСМ = ∟А + ∟С. +ВСМ + =В = 180º, porque esses cantos são internos unilaterais com linhas retas paralelas CM e VA e aeronaves secantes, o que significa: +А + ∟В + ∟С = 180º.

Teorema da dependência dos ângulos de um triângulo de lado

Redação: no triângulo contra o lado maior existe um ângulo maior.

Prova:

Considere o caso em ∆ ABC AC> AB. Estabelecemos o objetivo de provar que ∟С ∟ADM = ∟АЕМ> ∟С as (aplicamos as propriedades dos ângulos externos ∆ MVD e ∆ СЕМ). Portanto, ∟B> ∟C.

Você pode omitir as perpendiculares BT e CI ao feixe AM (Fig. 7).

Então acontece que ∟ABT = ÇACI, >В> ∟ АВТ = ∟ACI> ∟С.
Então, .В> ∟С. O teorema é provado.

Três teoremas perpendiculares (diretos e inversos)

Declaração (teorema direto): se uma linha reta traçada em um plano através da base de um oblíquo é perpendicular à sua projeção, então é perpendicular ao mais inclinado.

Prova:

Eu método:
(Prova do teorema direto)

Seja t OA Suponha que SA não seja perpendicular à linha t. Desenhe SB ┴ t e depois SA> SB. Dos triângulos retângulos SOA e SOB: OA2 = SA2 - SO2, OB2 = SB2 - SO2. Recebemos: OA> OB. Enquanto isso, OA 3) a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é calculada pela fórmula 180º (k -2). Para obter um (k + 1) -gon a partir de um k-gon, basta "refratar" um dos lados e, sem perder a convexidade, adicione duas linhas tracejadas e 180º será adicionado à soma dos ângulos internos do k-gon anterior (para ângulos de ∆ABC).
180º (k -2) + 180º = 180ºk - 360º + 180º = 180º ((k + 1) - 2). A validade da afirmação para n = k + 1 é comprovada. De acordo com o princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para qualquer número natural n, pelo menos três. O teorema é provado.

O segundo grupo de estudantes realiza a prova do teorema desenhando diagonais provenientes de um vértice. Os caras notam que se n é o número de lados de um polígono convexo, então (n - 2) é o número de triângulos formados. E desde a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 °, então a soma dos ângulos internos de um n-gon convexo é 180 ° (n -2).

O terceiro grupo de crianças encontra uma prova do teorema, dividindo o polígono em n triângulos com um vértice comum na região interna. A soma dos ângulos internos de um n-gon convexo é 180ºn - 360º = 180º (n -2).

E finalmente, o quarto grupo de estudantes, estudando a Fig. 12 e completando a Fig. 13 (desenhamos cantos com lados paralelos respectivamente para os ângulos с1 a ∟6), chega à conclusão: a soma dos ângulos internos de um n-gon convexo é 180ºn - 360º = 180º (n -2).

Após a preparação preliminar, os representantes de cada grupo no quadro demonstram à classe a prova encontrada do teorema.

Acabou sendo uma verdadeira celebração do conhecimento!

Ao acostumar os alunos a pesquisas independentes de evidências, incentivando seu trabalho nessa direção (mesmo que as evidências encontradas sejam mais complicadas que as conhecidas), é possível obter conhecimento mais sólido e profundo e ajudar a aumentar o interesse pelo assunto.

Conteúdo

Segue-se do teorema que qualquer triângulo tem pelo menos dois ângulos agudos. De fato, aplicando a prova por contradição, suponha que um triângulo tenha apenas um ângulo agudo ou nenhum ângulo agudo. Então este triângulo tem pelo menos dois ângulos, cada um dos quais é pelo menos 90 °. A soma desses ângulos não é inferior a 180 °. E isso é impossível, pois a soma de todos os ângulos do triângulo é de 180 °.

Existe uma relação mais complicada entre os ângulos diédricos de um simplex arbitrário. Ou seja, se L i j < displaystyle L_> É o ângulo entre as faces iej do simplex, então o determinante da seguinte matriz (que é um circulante) é 0:

Tipos dos maiores ângulos

Os seguintes tipos de polígono com três vértices são distinguidos:

  • angular agudo, em que todos os ângulos são agudos,
  • retangular, com um ângulo reto, enquanto os lados que o formam são chamados de pernas, e o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa,
  • obtuso, quando um canto é obtuso,
  • isósceles, em que os dois lados são iguais, e são chamados laterais, e o terceiro - a base do triângulo,
  • equilátero, tendo todos os três lados iguais.

As principais propriedades características de cada tipo de triângulo são distinguidas:

  • oposto ao lado maior, sempre existe um ângulo maior e vice-versa,
  • ângulos opostos de tamanho igual são ângulos iguais e vice-versa
  • qualquer triângulo tem dois cantos afiados,
  • o canto externo é maior que qualquer canto interno que não seja adjacente a ele,
  • a soma de quaisquer dois ângulos é sempre menor que 180 graus,
  • o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos restantes que não interferem nele.

Teorema da soma dos ângulos dos triângulos

O teorema afirma que se você somar todos os ângulos de uma determinada figura geométrica, localizada no plano euclidiano, sua soma será de 180 graus. Vamos tentar provar esse teorema.

Vamos ter um triângulo arbitrário com os vértices do KMN.

O corolário a seguir segue do teorema provado acima: qualquer triângulo tem dois ângulos agudos. Para provar isso, suponha que uma determinada figura geométrica tenha apenas um ângulo agudo. Também se pode assumir que nenhum dos ângulos é nítido. Nesse caso, deve haver pelo menos dois ângulos, cujo valor seja igual ou superior a 90 graus. Mas então a soma dos ângulos será superior a 180 graus. Mas isso não pode ser porque, de acordo com o teorema, a soma dos ângulos de um triângulo é de 180 ° - nem mais nem menos. Era isso que tinha que ser provado.

Propriedade de canto externa

Qual é a soma dos ângulos do triângulo que são externos? A resposta a esta pergunta pode ser obtida aplicando um dos dois métodos. A primeira é que é necessário encontrar a soma dos ângulos que são tomados um em cada vértice, ou seja, três ângulos. O segundo implica que você precisa encontrar a soma de todos os seis ângulos nos vértices. Para começar, trataremos da primeira opção. Portanto, o triângulo contém seis cantos externos - em cada vértice dois.

Além disso, sabe-se que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois internos que não interferem nele. Portanto,

∟1 = +А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = +В + ∟С.

A partir disso, verifica-se que a soma dos cantos externos, que são tomados um a um perto de cada vértice, será igual a:

+1 + ∟2 + ∟3 = +А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

Dado que a soma dos ângulos é de 180 graus, pode-se argumentar que ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. E isso significa que +1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Se a segunda opção for aplicada, a soma dos seis cantos será, respectivamente, duas vezes maior. Ou seja, a soma dos ângulos externos do triângulo será:

+1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Triângulo direito

Qual é a soma dos ângulos de um triângulo retângulo que são nítidos? A resposta a esta pergunta, novamente, segue de um teorema que afirma que os ângulos em um triângulo somam 180 graus. E nossa declaração (propriedade) soa assim: em um triângulo retângulo, ângulos agudos somam 90 graus. Vamos provar sua veracidade.

Assim, de acordo com o teorema da soma dos ângulos ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °. Nossa condição diz que сказаноН = 90 °. Acontece que ∟К + ∟М + 90 ° = 180 °. Ou seja, ∟К + ∟М = 180 ° - 90 ° = 90 °. Isso é o que deveríamos ter provado.

Além das propriedades descritas acima de um triângulo retângulo, você pode adicionar o seguinte:

  • os ângulos que estão contra as pernas são nítidos,
  • a hipotenusa de um triângulo é maior que qualquer uma das pernas,
  • a soma das pernas é maior que a hipotenusa,
  • a perna do triângulo, que fica oposta ao ângulo de 30 graus, é metade da hipotenusa, ou seja, é igual à metade dela.

Como outra propriedade desta figura geométrica, podemos distinguir o teorema de Pitágoras. Ela afirma que em um triângulo com um ângulo de 90 graus (retangular), a soma dos quadrados das pernas é igual ao quadrado da hipotenusa.

A soma dos ângulos de um triângulo isósceles

Dissemos anteriormente que um polígono com três vértices, contendo dois lados iguais, é isósceles. Essa propriedade desta figura geométrica é conhecida: os ângulos em sua base são iguais. Vamos provar isso.

Pegue o triângulo KMN, que é isósceles, KN ​​- sua base.

Mas estamos interessados ​​em qual é a soma dos ângulos de um triângulo (isósceles). Como, nesse aspecto, ele não possui características próprias, procederemos do teorema considerado anteriormente. Ou seja, podemos dizer que +К + ∟М + ∟Н = 180 °, ou 2 х ∟К + ∟М = 180 ° (desde ∟К = ∟Н). Não provaremos essa propriedade, pois o teorema da soma dos ângulos de um triângulo foi provado anteriormente.

Além das propriedades consideradas sobre os ângulos de um triângulo, também existem afirmações importantes:

  • em um triângulo isósceles, a altura que foi abaixada até a base é ao mesmo tempo a mediana, a bissetriz do ângulo que fica entre lados iguais, bem como o eixo de simetria de sua base,
  • as medianas (bissetoras, alturas) desenhadas nas laterais de uma figura geométrica são iguais.

Triângulo Equilateral

Também é chamado de regular; é aquele triângulo em que todos os lados são iguais. Portanto, os ângulos também são iguais. Cada um deles é de 60 graus. Vamos provar essa propriedade.

Suponha que tenhamos um triângulo KMN. Sabemos que KM = NM = KN. E isso significa que, de acordo com a propriedade dos ângulos localizados na base de um triângulo isósceles, ∟К = ∟М = ∟Н. Como, de acordo com o teorema, a soma dos ângulos do triângulo é ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, então 3 x ∟К = 180 ° ou ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. Assim, a afirmação é comprovada.

Existem também essas propriedades características de um triângulo equilátero:

  • a mediana, a bissetoria, a altura de uma figura geométrica coincidem, e seu comprimento é calculado como (а х3): 2,
  • se descrevermos um círculo em torno de um dado polígono, seu raio será igual a (а х3): 3,
  • se você inserir um círculo em um triângulo equilátero, seu raio será (e x √3): 6,
  • a área desta figura geométrica é calculada pela fórmula: (a2 x √3): 4.

Triângulo obtuso

De acordo com a definição de um triângulo obtuso, um de seus ângulos está na faixa de 90 a 180 graus. Mas considerando que os outros dois ângulos dessa figura geométrica são nítidos, podemos concluir que eles não excedem 90 graus. Portanto, o teorema da soma dos ângulos de um triângulo funciona ao calcular a soma dos ângulos em um triângulo obtuso. Acontece que podemos dizer com segurança, com base no teorema mencionado, que a soma dos ângulos de um triângulo obtuso é de 180 graus. Novamente, esse teorema não precisa ser provado novamente.

Pin
Send
Share
Send
Send